Fórmula de Black-Scholes para Precificação de Opções

Autor: Guilherme Freitas

1. O QUE SÃO OPÇÕES

1.1 Definição:

Opções são um tipo de derivativo negociados no mercado financeiro.

“Elas representam um contrato que dá ao seu titular o direito de comprar ou de vender um determinado ativo por um valor pré-determinado em uma data específica do futuro.”

Temos 2 tipos de opções:

• Opção de Compra (Call)
• Opção de Venda (Put)

INFO

Nota: Para os cálculos usaremos somente as Opções de Compra.

1.2 Exemplo

Imagine que uma ação da Amazon custe hoje $100. Você acredita que a ação irá se valorizar no futuro, por isso compra uma Call Option por $10:

INFO

Nota: Vamos considerar as opções européias, em que só se pode vender ou comprar o Ativo-Objeto na data de vencimento, não durante todo o período.

1.3 Gráfico de Ganhos / Perdas

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2. MODELO DE BACHELIER

Na época de Louis Bachelier (1870-1946), matemática francês, não existia uma forma precisa de precificar opções. Os acordos eram feitos com base em barganhas e intuições pessoais de quanto a opção deveria valer com base no ativo. Pela complexidade em prever o Mercado, Bachelier encontrou um modo de modelar o movimento das ações e outros ativos: Probabilidade.

2.1 Probabilidade

Imaginando que o preço de um ativo pudesse subir ou descer uma unidade a cada período de tempo, com probabilidade p=1/2, tornamos o preço de um ativo um processo estocástico: um Passeio Aleatório, assim podendo modelá-lo como um Movimento Browniano.

2.2 Modelo

Utilizando a ideia de um Movimento Browniano Padrão (B), Bachelier modelou o preço do ativo no futuro t como um Movimento Browniano Aritimético:

$S_t=S_0+\mu t+\sigma B_t⟹d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma dW$

A solução da equação pode ser abordada de várias formas diferentes, usando cálculo estocástico, Martingales, técnicas de Cálculo Diferencial, entre outras. Nessa apresentação consideraremos a fórmula definida por Bachelier inicialmente, sem considerar uma taxa livre de risco:

$C=(S-X)\Phi (D)+\sigma \sqrt{T}\varphi (D)$

Onde: $D=\frac{S-X}{\sigma \sqrt{T}}$ , $\Phi$ é a CDF e $\varphi$ a PDF da Normal Padrão N(0,1).

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Nota: A demonstração da fórmula e várias outras abordagens podem ser encontradas em: https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=3428994

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3. DYNAMIC HEDGING DE THORP

3.1 Definição

Dynamic Hedging é uma estratégia que procura garantir o valor de uma carteira utilizando uma opção de venda sintética. Envolve o reequilíbrio das posições de cobertura à medida que as condições de mercado mudam.

3.2 Ideia de Thorp

Tendo uma opção V no seu portifólio e uma certa quantidade Δ do ativo S o qual ela está atrelada, podemos reduzir nossas perdas e por consequência o risco do portifólio:

$\Pi =V-\Delta S⟹\partial \Pi =\partial V-\Delta \partial S$

O risco do portifólio π está atrelado ao seu drift ∂: uma medida de movimento de valor, por consequência, o drift do portifólio é proporcional ao drift de cada ativo.

3.3 Delta

O drift de uma opção e do ativo associado a ela estão relacionados, por isso, se considerarmos:

$\partial \Pi =\partial V-\Delta \partial S$

$\partial \Pi =\partial V-\frac{\partial V}{\partial S}\partial S$

$\partial \Pi =\partial V-\partial V=0$

Com o drift do portifólio nulo, π se torna determinístico e não possui mais risco!

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4. MODELO DE BLACK-SCHOLES

4.1 Retorno do Portifólio π

Desenvolvendo o mesmo portifólio π de Thorp e definindo dR como o retorno acumulado do portifólio, temos que:

$(1)dR=dV-\frac{\partial V}{\partial S}dS$

Pelo Lema de Itô:

$(2)dV=\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial S}dS+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}dt$

Substituindo (2) em (1):

$dR=\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial S}dS+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}-\frac{\partial V}{\partial S}dS$

$dR=\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}$

4.2 Hipótese do Mercado Eficiente (EMH)

Sob a hipótese do mercado eficiente, ou de um mercado justo, um portifólio com risco 0 teria o retorno igual a Taxa Livre de Risco r, já que sem um risco adicional para justificar o aumento do retorno, não deveria ser possível nada além de r, ou seja:

$dR=r\Pi \to r\Pi =\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}$

Substituindo $\Pi$ (que é $V-\Delta S$, com $\Delta =\frac{\partial V}{\partial S}$), chegamos à Equação Diferencial Parcial de Black-Scholes:

$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0$

4.3 Precificação de Call e Put Option

A resolução da equação diferencial é complexa e demorada, por isso não será abordada nessa apresentação, somente as soluções finais:

Precificação de Call e Put Option:

$C=S\Phi (d1)-X{e}^{-rT}\Phi (d2)$

Precificação de Put Option:

$P=X{e}^{-rT}\Phi (-d2)-S\Phi (-d1)$ Onde:

$d1=\frac{\ln \left(\frac{S}{X}\right)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}\text{e}d2=\frac{\ln \left(\frac{S}{X}\right)+\left(r-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}=d1-\sigma \sqrt{T}$

INFO

Nota: A demonstração completa em detalhes pode ser vista em: https://digitalcommons.liu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1074&context=post_honors_theses

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5. MODELO DE FREITAS

5.1 Modelagem Probabilística

Se Ri é o log-retorno do ativo no instante i, então o valor da ação no instante T é:

$S_T=S{e}^{{\sum }_{i=1}^T{R}_i}$

A suposição sobre os retornos $R_i$:

$R_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)⟹E(R_i)=\mu \text{e}Var(R_i)={\sigma }^2$

A distribuição resultante para $S_T$:

$S_T\sim N\left(S{e}^{T\mu +\frac{T{\sigma }^2}{2}};S^2\left[e^{T{\sigma }^2}-1\right]\left[e^{2T\mu +T{\sigma }^2}\right]\right)$

INFO

Nota: Usaremos Estimadores de Máxima Verossimilhança para estimar os parâmetros populacionais.

5.2 Precificação da Opção

Assim como para Black-Scholes, em um mercado eficiente, ou “justo”, o preço C de uma opção deve ser aquele que iguala o valor esperado de perda e de ganho:

5.3 Valor Esperado

A esperança de uma variável aleatória contínua é dada por:

$E(Y)={\int }_{y\in \Omega }yf(y)dy$

Porém, no nosso caso, o retorno não é linear. Sendo s o valor do ativo no tempo T, X o Strike Price e C o valor pago pela opção:

• Se o valor do ativo s não superar o Strike Price X, o prejuízo é o valor pago na opção, C.
• Se o valor estiver entre o Strike Price X e X + o valor pago C, o prejuízo é a diferença entre o valor do ativo, o preço de exercício e o valor pago, ou seja, s - (X+C).
• Se o valor s superar o Strike Price + o valor da opção C, temos um lucro de s - (X+C).

Graficamente:

$P_t={\int }_0^X-Cf(s)ds$

$P_p={\int }_X^{X+C}(s-(X+C))f(s)ds$

$L={\int }_{X+C}^{\infty }(s-(X+C))f(s)ds$

5.4 Solução

Não existe um método analítico, ou seja, exato, que nos entregue C, já que as integrais podem ser impróprias. Por isso, encontraremos C numericamente, minimizando a função D:

$D(C)=|L+P_t+P_p|$

INFO

Nota: Também podemos modelar o preço futuro pelos retornos brutos, os resultados são os mesmos.

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6. COMPARAÇÃO DOS MODELOS

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7. PRÓXIMOS PASSOS

• Realizar os cálculos para a opção de venda (Put Option);
• Adicionar a taxa de risk-free nas equações;
• Personalização do período para cálculo da média de Retornos;
• Escrever o artigo no Medium da nova proposta de precificação.