Autores: Guilherme Vinicius Afonso Dias de Freitas

Orientador: Leandro dos Santos Maciel

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

[1] ANDERSEN, T. G.; BOLLERSLEV, T.; DIEBOLD, F. X. Parametric and nonparametric volatility measurement. In: Handbook of the Economics of Finance, v. 2, p. 67–122, 2011.

[2] BAKER, S. R.; BLOOM, N.; DAVIS, S. J. Measuring economic policy uncertainty. Quarterly Journal of Economics, v. 131, n. 4, p. 1593–1636, 2016.

[3] BARNDORFF-NIELSEN, O. E.; SHEPHARD, N. Power and bipower variation with stochastic volatility and jumps. Journal of Financial Econometrics, v. 2, n. 1, p. 1–37, 2004.

[4] BARNDORFF-NIELSEN, O. E.; SHEPHARD, N. Econometrics of testing for jumps in financial economics using bipower variation. Journal of Financial Econometrics, v. 4, n. 1, p. 1–30, 2006.

[5] BOLLERSLEV, T.; GHYSELS, E. Periodic autoregressive conditional heteroscedasticity. Journal of Business & Economic Statistics, v. 14, n. 2, p. 139–151, 1996.

[6] CORSI, F. A simple approximate long-memory model of realized volatility. Journal of Financial Econometrics, v. 7, n. 2, p. 174–196, 2009.

[7] CORSI, F.; PIRINO, D.; RENÒ, R. Threshold bipower variation and the impact of jumps on volatility forecasting. Journal of Econometrics, v. 159, p. 276–288, 2010.

[8] CORSI, F.; RENÒ, R. Discrete-time volatility forecasting with persistent leverage effect and the link with continuous-time volatility modeling. Journal of Business & Economic Statistics, v. 30, n. 3, p. 368–380, 2012.

[9] IZZELDIN, M.; LIU, H.; MURPHY, D. Forecasting realized volatility using ARFIMA and HAR models. Quantitative Finance, v. 19, n. 6, p. 963–976, 2019.

[10] MINCER, J.; ZARNOWITZ, V. The evaluation of economic forecasts. In: MINCER, J. (ed.). Economic forecasts and expectations: analysis of forecasting behavior and performance. New York: National Bureau of Economic Research, p. 3–46, 1969.

[11] NEWEY, W. K.; WEST, K. D. A simple, positive semi-definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix. Econometrica, p. 703–708, 1987.

[12] PATTON, A. J. Volatility forecast comparison using imperfect volatility proxies. Journal of Econometrics, v. 160, n. 1, p. 246–256, 2011.

[13] VAL, A. L. S.; PINTO, A. C. F.; KLOTZLE, M. C. Modelos de volatilidade realizados e previsão de volatilidade de ações brasileiras. Revista Contabilidade & Finanças, v. 25, n. 66, p. 172–185, 2014.

PROGRAMAS COMPUTACIONAIS UTILIZADOS:

Python (3.11.3)
Microsoft Word para Windows (2024)
Microsoft Excel para Windows (2024)

TÉCNICAS ESTATÍSTICAS UTILIZADAS:

Análise Descritiva Unidimensional (03:010)
Estimação Paramétrica Multidimensional (04:160)
Testes de Hipóteses Paramétricas (05:010)
Análise de Regressão Clássica (07:020)
Outros (07:990)
Séries Temporais (11:010)

ÁREA DE APLICAÇÃO:

Econometria (14:070)

1.Introdução

Em finanças, a volatilidade de um ativo representa a variabilidade dos seus retornos ao longo do tempo, sendo frequentemente utilizada como uma medida de risco. Altos níveis de volatilidade implicam em maior incerteza quanto ao comportamento futuro dos preços, o que impacta diretamente o processo de tomada de decisão por parte de investidores, gestores de risco e formuladores de políticas econômicas.

No contexto atual, marcado por intensa dinâmica dos mercados financeiros, as criptomoedas se destacam como ativos de elevada volatilidade. Essa característica torna essencial o desenvolvimento de modelos robustos capazes de antecipar os padrões de variação de seus preços. Modelos baseados em dados intradiários têm se mostrado particularmente promissores nesse aspecto, conforme estudos como o de Val et al. (2014).

O presente trabalho se insere nesse contexto, visando contribuir para a literatura de previsão de volatilidade com foco em ativos digitais, por meio de modelos heterogêneos autoregressivos (HAR) e suas extensões.

Objetivo

O objetivo central deste estudo é desenvolver modelos estatísticos preditivos da volatilidade de ativos, com ênfase no uso de dados intradiários e variáveis exógenas que reflitam informações de mercado e sentimento econômico. Almeja-se:

Avaliar o desempenho preditivo dos modelos HAR, HAR-CJ, HAR-TCJ, LHAR- TCJ e HAR-SJ;
Investigar o valor informacional de variáveis como retorno negativo e indicadores de saltos;
Adicionar medidas de retorno excessivo ao mercado;
Incorporar medidas de sentimento, como o Índice de Incerteza de Política Econômica (GEPU) e Google Trends;
Comparar os modelos em termos de previsões dentro e fora da amostra.

2.Variáveis

A variável dependente principal dos modelos é a Realized Volatility ( $R V$ ), obtida a partir da soma dos quadrados dos retornos intradiários:

$R V_{t} = \sum_{i = 1}^{n} r_{i, t}^{2}, (1)$

onde $r_{i, t}$ representa o retorno no intervalo $i$ do dia $t$ .

As Figuras B.1 a B.3 mostram a série de $R V$ para os ativos Bitcoin (BTC), Amazon (AMZN) e Apple (AAPL), respectivamente.

As variáveis explanatórias incluem:

Médias móveis de RV;
“Saltos” (jumps): distinguem movimentos bruscos dos preços da variabilidade global;
Retornos negativos: capturam efeitos de assimetria (leverage effect);
S&P500: um índice de mercado, mantido pela empresa Dow Jones, que acompanha o desempenho de 500 das maiores empresas de capital aberto dos Estados Unidos, amplamente utilizado como proxy para movimentos do mercado de ações como um todo;
GEPU - Global Economic Policy Uncertainty Index: índice desenvolvido em Baker et al. (2016) que mede a incerteza da política econômica a partir da frequência de termos relacionados à incerteza econômica em jornais de diversos países. Quanto maior o índice, maior a percepção de incerteza;
Google Trends: usado como índice de atenção, fornece dados sobre o volume de buscas por palavras-chave ao longo do tempo, refletindo o interesse público ou de investidores por certos termos.

3.Modelos HAR

Os modelos do tipo heterogêneos autoregressivos (HAR) utilizam a volatilidade realizada do ativo para realizar previsões de volatilidade em janelas futuras com uma estrutura simples de regressão linear.

Estudos como o de Izzeldin et al. (2019) e Corsi (2009) mostram que o modelo HAR apresenta previsões de volatilidade robustas em diferentes condições de mercado e horizontes temporais, quando comparado com modelos tradicionais, como ARFIMA e GARCH.

Modelo HAR

Desenvolvido em Corsi (2009), o modelo HAR simples assume que a volatilidade realizada pode ser explicada por sua própria média ao longo de diferentes janelas temporais:

$R V_{t} = α + β_{d} R V_{t - 1} + β_{w} R V_{t - 5}^{(W)} + β_{m} R V_{t - 22}^{(M)} + ϵ_{t}, (2)$

com $R V_{t - 5}^{(W)} = \frac{1}{5} \sum_{t = t - 5}^{t - 1} R V_{t}$ e $R V_{t - 22}^{(M)} = \frac{1}{22} \sum_{t = t - 22}^{t - 1} R V_{t}$ médias móveis semanais e mensais de RV, respectivamente.

Se baseia na ideia de que diferentes tipos de agentes de mercado possuem comportamentos e tempos de reação distintos quando expostos a novas informações, gerando impacto na volatilidade em diversas janelas temporais.

Modelo HAR-CJ

O modelo HAR-CJ, apresentado em Corsi et al. (2010), separa a volatilidade realizada em componentes contínuos e discretos, utilizando jumps. Inclui saltos que afetam a dinâmica da volatilidade de forma diferente da variação contínua:

$R V_{t} = α + β_{d} C_{t - 1} + β_{w} C_{t - 5}^{(W)} + β_{m} C_{t - 22}^{(M)} + γ J_{t - 1} + ϵ_{t}, (3)$

onde $J_{t - 1}$ representa a componente de jumps da volatilidade e $C_{t - 1} = R V_{t - 1} - J_{t - 1}$ .

Essa decomposição dos componentes gera uma melhor previsão pois permite captar de forma mais eficiente a dinâmica dos choques no mercado ao distingui-la de variações contínuas.

Modelo HAR-TCJ

O modelo HAR-TCJ (Andersen et al., 2011), possui a mesma estrutura do HAR- CJ, porém utiliza uma correção robusta no teste de saltos, gerando mais precisão e assertividade:

$R V_{t} = α + β_{d} T C_{t - 1} + β_{w} T C_{t - 5}^{(W)} + β_{m} T C_{t - 22}^{(M)} + γ T J_{t - 1} + ϵ_{t}, (4)$

onde $T J_{t - 1}$ é a parcela que representa jumps da volatilidade, corrigida por um limitador, e $T C_{t - 1} = R V_{t - 1} - T J_{t - 1}$ .

A utilização de um threshold (limitante) para calcular os saltos elimina parte do ruído nos dados, criando um modelo que performa melhor. Sua descrição e cálculo serão abordados de forma mais aprofundada na seção subsequente.

Modelo LHAR-TCJ

Corsi e Renò (2012) adicionam uma componente de assimetria (leverage) ao HAR-TCJ, seguindo a premissa de que os retornos negativos têm um impacto maior na volatilidade do que os positivos, criando o LHAR-TCJ:

$R V_{t} = α + β_{d} T C_{t - 1} + β_{w} T C_{t - 5}^{(W)} + β_{m} T C_{t - 22}^{(M)} + γ T J_{t - 1} + δ r_{t - 1}^{-} + ϵ_{t}, (5)$

em que $r_{t - 1}^{-} = min (r_{t - 1}, 0)$ .

Modelo MLHAR-TCJ

Agregando o retorno excedente do ativo sobre o mercado, nesse caso consideramos o retorno do S&P500 como aproximação, buscamos metrificar o impacto do resultado excessivo na volatilidade, baseado na conexão intrínseca de risco e retorno. Assim, temos o modelo MLHAR-TCJ:

$R V_{t} = α + β_{d} T C_{t - 1} + β_{w} T C_{t - 5}^{(W)} + β_{m} T C_{t - 22}^{(M)} + γ T J_{t - 1} + δ e^{r_{t - 1}^{-}} + τ D_{t - 1} + ϵ_{t}, (6)$

com $D_{t - 1} = max (r_{t - 1}^{a t i v o} - r_{t - 1}^{S & P 500}, 0) .$

Modelo ULHAR-TCJ

Adicionando o GEPU como variável independente, criamos o modelo UHAR-TCJ, que busca cumular poder de previsão de volatilidade dos ativos utilizando o nível de incerteza política global refletida no mercado:

$R V_{t} = α + β_{d} T C_{t - 1} + β_{w} T C_{t - 5}^{(W)} + β_{m} T C_{t - 22}^{(M)} + γ T J_{t - 1} + δ e^{r_{t - 1}^{-}} + μ GEP U_{t - 1} + ϵ_{t}, (7)$

Modelo ALHAR-TCJ

Utilizando o Google Trends, esperamos capturar a influência do número de investidores atentos ao ativo em sua volatilidade, devido a variação do volume de transações e/ou a expectativa de acontecimentos relevantes:

$R V_{t} = α + β_{d} T C_{t - 1} + β_{w} T C_{t - 5}^{(W)} + β_{m} T C_{t - 22}^{(M)} + γ T J_{t - 1} + δ e^{r_{t - 1}^{-}} + ψ G_{t - 1} + ϵ_{t}, (8)$

com $G_{t}$ sendo o volume normalizado de pesquisas do termo referente ao ativo no Google Trends no dia $t$ .

Modelos HAR para funções de RV

Os modelos serão estimados usando 3 funções de RV. Exemplificando com o modelo HAR-CJ, temos:

$R V_{t} = α + β_{d} C_{t - 1} + β_{w} C_{t - 5}^{(W)} + β_{m} C_{t - 22}^{(M)} + γ J_{t - 1} + ϵ_{t}$

$ln (R V_{t}) = α + β_{d} ln (C_{t - 1}) + β_{w} ln (C_{t - 5}^{(W)}) + β_{m} ln (C_{t - 22}^{(M)}) + γ ln (J_{t - 1} + 1) + ϵ_{t}$

4. Testes de jumps

Para testar a existência de jumps no dia t utilizaremos um teste de hipóteses proposto por Barndorff-Nielsen e Shephard (2006), baseado na ideia de que, na ausência de saltos, a diferença entre a soma do quadrado dos retornos (RV) e a soma dos produtos dos pares de retornos imediatamente seguintes (BPV) deve ser pequena.

O teste pode ser realizado com as estatísticas de teste Z simples ou C-Tz, uma estatística robusta com limitador (threshold):

$Z = δ^{- \frac{1}{2}} \frac{( R V _{t} - BP V _{t} ) . R V _{t}^{- 1}}{θ . m a x { 1 , \frac{T r i P V _{t}}{( BP V _{t} ) ^{2}} }},$

$C - T z = δ^{- \frac{1}{2}} \frac{( R V _{t} - C - TBP V _{t} ) . R V _{t}^{- 1}}{θ . m a x { 1 , \frac{C - TT r i P V _{t}}{( C - TBP V _{t} ) ^{2}} }},$

com $θ = \frac{π ^{2}}{4} + π - 5$ , $δ = \frac{T}{n}$ , o tamanho dos subintervalos em que dividimos o período T (dia) e $BP V_{t}, T r i P V_{t}, C - TBP V_{t}, C - TBP V_{t}$ descritos no Apêndice C. Ambas seguem uma Normal Padrão sob a hipótese nula de não existência de salto.

As Figuras B.4 a B.6 mostram que o número de dias em que saltos são detectados utilizando a estatística com threshold C-Tz é consistentemente maior do que com os testes feitos com a estatística Z para todos os ativos.

Finalmente, os saltos são calculados com base no teste considerado:

$J_{t} = 1_{(z_{t} > Φ_{α})} max (R V_{t} - BP V_{t}, 0)$

$T J_{t} = 1_{(C - T z_{t} > Φ_{α})} max (R V_{t} - TBP V_{t}, 0)$

em que $Φ_{α}$ é a f.d.a. da Normal Padrão, com nível de confiança $α$ , e $TBP V_{t}$ é descrito no Apêndice C.

5.Análise in-sample

O propósito da análise in-sample (dentro da amostra), é observar se as variáveis explicativas possuem poder preditivo sobre a volatilidade dos ativos.

Para isso, utilizamos a série completa para estimar a regressão do modelo utilizando o método de mínimos quadrados ordinários (OLS), porém com o estimador de Newey-West (1987) para calcular a matriz de variância-covariância de forma robusta em presença de heterocedasticidade e autocorrelação.

Avaliamos o desempenho preditivo dos modelos, nas transformações 𝑅𝑉𝑡, 𝑅𝑉𝑡 e ln(𝑅𝑉𝑡), utilizando as medidas:

R²: de Mincer-Zarnowitz (1969) para previsões de regressão;
HRMSE: Raiz do Erro Quadrático Médio Heterocedástico Ajustado, proposto em Bollerslev e Ghysels (1996), dado por:

$H RMSE = \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} (\frac{R V _{t} - R V _{t}}{R V _{t}})^{2};$

onde $R V_{t}$ é o valor previsto pelo modelo para a RV no tempo $t$ .

QLIKE: Função de Perda de Quase-Verossimilhança, robusta na avaliação de previsões de volatilidade, na forma definida em Patton (2011):

$Q L I K E = \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} (lo g R V_{t} - \frac{R V _{t}}{R V _{t}}),$

As Tabelas A.1 a A.9 mostram os resultados da análise para o Bitcoin, Amazon e Apple.

Os resultados revelam padrões consistentes e algumas distinções importantes entre os ativos no desempenho dos modelos considerados.

Um resultado comum a todos os ativos foi a melhora sistemática nas métricas de previsão ao aplicarmos transformações na variável dependente. Especificamente, a transformação logarítmica da RV apresentou o melhor desempenho preditivo, seguida pela transformação por raiz quadrada, enquanto a modelagem da RV em sua forma original resultou nos ajustes menos eficazes. Por exemplo, no caso do BTC, os valores de R² do modelo mais simples, HAR, foram 0,279, 0,522 e 0,589, respectivamente. Tendência semelhante foi observada para AMZN e AAPL, indicando que transformações estabilizadoras de variância são eficazes para melhorar a qualidade da previsão.

Para o BTC, o modelo que apresentou o melhor desempenho geral foi o MLHAR-TCJ, que utiliza o retorno excedente sobre o mercado, com R² de 0,6, HRMSE de 0,893 e QLIKE de 1,867, porém, no caso da previsão de RV, o modelo com as melhores métricas foi o ALHAR-TCJ, com R² de 0,365, HRMSE de 2,005 e QLIKE de 2,171. Modelos mais simples apresentaram R² inferiores e erros preditivos maiores, o que reforça a percepção de que a dinâmica de ativos voláteis como as criptomoedas possuem reflexo em seus retornos e devem sofrer maior impacto conforme os agentes de mercado desviam sua atenção em direção a eles.

No caso da AMZN, o modelo de melhor desempenho foi o HAR-CJ, com R² de 0,724, HRMSE de 0,581 e QLIKE de 0,713. A inclusão de variáveis adicionais em modelos mais complexos, como o ULHAR-TCJ ou ALHAR-TCJ, melhoram gradativamente as medidas de desempenho do modelo LHAR-TCJ, mas não o suficiente para superarem a previsibilidade do HAR-CJ. Isso indica que, para a AMZN, a estrutura básica de heterogeneidade de horizontes com componente de salto já é suficiente para capturar a dinâmica da volatilidade.

Por fim, para a AAPL, o modelo com melhor desempenho, considerando também a complexidade, foi o LHAR-TCJ, que apresentou R² de 0,594, HRMSE de 0,619 e QLIKE de 0,174. As tentativas de adicionar novas variáveis exógenas não resultou em ganhos expressivos: tanto o R² quanto os erros de previsão permaneceram sem melhoras significativas. Isso sugere que a estrutura do LHAR-TCJ é adequada para a dinâmica da AAPL, e que modelos mais complexos podem apenas aumentar o risco de sobreajuste sem ganhos substanciais em previsão ou que as variáveis exógenas estudadas não possuem poder explicativo sobre esse ativo.

Podemos observar o comportamento das previsões dos modelos que performaram melhor em cada ativo pelas Figuras B.7 a B.9.

6. Análise out-of-sample

Na análise out-of-sample (fora da amostra), cujo objetivo é validar a qualidade das previsões realizadas pelos modelos, a estimação é feita de forma iterativa:

Partindo de uma janela inicial de tamanho 𝑅 = 0.4 ∗ 𝑇 (limitada a 3 anos), com T sendo o tamanho da série, a estimação do modelo é feita como na análise in- sample, com a variável dependente igual a média móvel de RV, de 1 dia, 1 semana, 2 semanas ou 1 mês, à frente;
Em seguida, é feita a previsão da observação imediatamente seguinte ao final da janela, que é então armazenada em um vetor;
A janela de estimação é movida 1 passo à frente (com tamanho R, fixo) e a previsão seguinte é feita, armazenada, e assim por diante.
Por fim, é feita uma regressão simples entre os valores previstos e os reais, denominada Regressão OS.

As medidas utilizadas para comparação dos modelos, novamente para as funções 𝑅𝑉𝑡, 𝑅𝑉𝑡 e ln(𝑅𝑉𝑡), são:

R²: da Regressão OS;
HRMSE, como descrita anteriormente, da Regressão OS;
MAE: Erro Absoluto Médio, também da Regressão OS, dado por:

$M A E = \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} ∣ R V_{t} - R V_{t} ∣.$

Os resultados dessa análise, mostram o mesmo padrão quanto as transformações: melhores previsões são alcançadas utilizando a transformação logarítmica, seguida da raiz quadrada e por fim as previsões menos eficazes do RV, com exceção da AAPL, onde as melhores previsões são realizadas com a transformação quadrática.

No caso do BTC, a melhora das previsões também ocorre conforme aumentamos a janela de previsão, de 1 dia até 1 mês, algo que pode ser específico de ativos tão voláteis quanto as criptomoedas, reduzindo o ruído nos dados e amortecendo grandes variações. Novamente, o melhor modelo é o MLHAR-TCJ, porém com menos dispariedades nas medidas comparativas, fazendo previsões menos precisas em janelas curtas, de 1 dia e 1 semana, do que outros modelos mais simples, como o HAR-CJ, em especial para a transformação do logaritmo de RV.

De forma similar ao BTC, as previsões da AMZN também melhoram ao longo do aumento das janelas temporais, porém, o R² começa a decair a partir da janela mensal, indicando que, para esse ativo, estender muito a janela de previsão pode causar uma suavização exagerada da volatilidade, reduzindo assim as informações específicas contidas em janelas menores. Em linha com a análise in-sample, o modelo que apresenta as melhores previsões fora da amostra é o HAR-CJ, porém, não com o destaque anterior, tendo previsões menos precisas do que o modelo ALHAR-TCJ, em janelas de 1 dia e 1 semana na transformação quadrática.

Já para AAPL, janelas preditivas de 2 semanas ou mais apresentam medidas comparativas piores do que da janela de 1 semana, onde ocorre a maior precisão das previsões, replicando o movimento de perda de informação observado na AMZN. Divergente da análise in-sample, o modelo com a melhor qualidade preditiva fora da amostra é o ULHAR-TCJ, que apresenta medidas consistentemente maiores do que o modelo LHAR-TCJ, apontando que, provavelmente, ativos ligados diretamente ao poder de compra e políticas econômicas, sofrem maiores impactos dos índices de incerteza como o GEPU.

Mais uma vez, podemos observar o comportamento das previsões, em todas as janelas temporais, dos modelos que performaram melhor em cada ativo pelas Figuras B.10 a B.12.

7. Conclusão

As análises sobre o comportamento dos modelos HAR para previsão de volatilidade realizada (RV), reforçam tanto a importância de considerar a transformação da variável dependente quanto a adequação específica do modelo à dinâmica de cada ativo. Enquanto o BTC exige maior flexibilidade estrutural, ativos como AMZN e AAPL parecem responder melhor a modelos mais parcimoniosos, desde que adequadamente especificados.

Em ambos os cenários, *in-*sample e *out-of-*sample, a transformação logarítmica da RV se destacou como a mais eficaz no geral, seguida pela transformação por raiz quadrada, com a modelagem da RV em sua forma original apresentando os piores desempenhos. Essa tendência se confirmou para BTC, AMZN e AAPL, refletindo a eficácia das transformações estabilizadoras de variância na melhora das métricas preditivas.

Os desempenhos dos modelos variaram significativamente entre os ativos. Para o BTC, o modelo MLHAR-TCJ apresentou o melhor ajuste in-sample e também o melhor desempenho preditivo em janelas maiores fora da amostra, evidenciando a importância de variáveis de retorno de mercado em ativos de alta volatilidade. Para a AMZN, o HAR- CJ demonstrou desempenho superior in-sample e manteve sua competitividade out-of- sample, principalmente em janelas curtas, sugerindo que a inclusão de saltos já é suficiente para capturar a dinâmica de sua volatilidade. No caso da AAPL, embora o LHAR-TCJ tenha se destacado in-sample, o ULHAR-TCJ superou os demais modelos fora da amostra, especialmente em janelas curtas, indicando que variáveis relacionadas à incerteza econômica (como o GEPU) podem ter maior relevância nesse ativo.

Adicionalmente, observou-se que o horizonte de previsão influencia fortemente a acurácia preditiva: no BTC e AMZN, janelas maiores tendem a suavizar o ruído e melhorar a performance, até certo ponto; por outro lado, para a AAPL, janelas maiores levam à perda de informação, com o melhor desempenho concentrado em horizontes curtos (1 semana).

Esses resultados reforçam que não há um modelo universalmente superior, sendo necessário considerar tanto a natureza do ativo quanto o horizonte temporal e a forma de transformação da variável de interesse. Além disso, modelos mais complexos nem sempre geram ganhos significativos em previsão, podendo inclusive aumentar o risco de sobreajuste, especialmente quando as variáveis exógenas adicionadas possuem baixo poder explicativo.

APÊNDICE A